Schinzel Circle

A Circle having a given number of Lattice Points on its Circumference. The Schinzel circle having $n$ lattice points is given by the equation

$$\cases{ (x-{\textstyle{1\over 2}})^2+y^2={\textstyle{1\over... ...)^2+y^2={\textstyle{1\over 9}} 5^{2k} & for $n=2k+1$\ odd.\cr}$$

Note that these solutions do not necessarily have the smallest possible Radius. For example, while the Schinzel circle centered at (1/3, 0) and with radius 625/3 has nine lattice points on its circumference, so does the circle centered at (1/3, 0) with radius 65/3.

See also Circle, Circle Lattice Points, Kulikowski's Theorem, Lattice Point, Schinzel's Theorem, Sphere

References

Honsberger, R. ``Circles, Squares, and Lattice Points.'' Ch. 11 in Mathematical Gems I. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 117-127, 1973.

Kulikowski, T. ``Sur l'existence d'une sphère passant par un nombre donné aux coordonnées entières.'' L'Enseignement Math. Ser. 2 5, 89-90, 1959.

Schinzel, A. ``Sur l'existence d'un cercle passant par un nombre donné de points aux coordonnées entières.'' L'Enseignement Math. Ser. 2 4, 71-72, 1958.

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Sierpinski, W. ``Sur un problème de H. Steinhaus concernant les ensembles de points sur le plan.'' Fund. Math. 46, 191-194, 1959.

Sierpinski, W. A Selection of Problems in the Theory of Numbers. New York: Pergamon Press, 1964.